карточка-консультант

Приложение 2
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ.
Пример 16. x-3>0
Решение: 1. x-3>0
2.f(x)=x-3,f(x)>0
3.f(x)=0,x=3
4.
5. x∈(3; +∞), f(4)=1,f(x)>0
6. x∈(-∞;3), f(2)=-1,f(x)<0 7.Ответ: x∈(3; +∞) Пример 17. –4ч+16 ≤0 Решение: 1.-4x+16≤0 2.f(x)=-4x+16,f(x)≤0 3. f(x)=0.f(x)=4 4. 5.x∈(-∞],f(2)=8.f(x)≥0 6. x∈[4;+∞],f(5)=-4,f(x)≤0 7.Ответ:x∈[4; +∞) Пример 18. 2x-3-2x≥0 Решение: 1. 2x-3-2x≥0 2.-3≥0, f(x)=-3 3. f(x)=0.x∈∅ 4. 5.x(-∞;+∞),x∈∅ 6. Ответ: x∈∅ Пример 19. x+1>x
Решение: 1. x+1>x
2. 1>0,f(x)=1
3.f(x)=0,x∈R
4.
5. x∈(-;+),f(x)>0
6.Ответ: x∈R
Пример 20. 2x+1-x≥4x+4
Решение: 1. 2x+1-x-4x-4≥0
2. f(x)-3x-3,f(x)≥0
3. f(x)=0,f(x)=1
4.
5. x∈(-∞;1),f(-2)=3.f(-2)≥0
6. x∈[1;+∞),f(2)=-9,f(2)≤0
Ответ:x∈(-;1]
Пример21 2(3-x)-3(2+x)≤x
Решение: 1. 2(3-x)-3(2+x)-x≤0
2. f(x)=-6x,f(x)≤0
3. f(x)=0. x=0
4.
5. x∈(-∞;],f(x)≥0
6. x∈[0;+∞),f(1)=-6,f(x)≤0
Ответ: x∈[0; +∞)



РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ, если D>0

Пример 22 x^2-2x-15>0
Решение: 1. x^2-2x-15>0
2. f(x)=x^2-2x-15,f(x)>0
3. f(x)=0,x_1=5,x_2=-3
f(x)=(x-5)(x+3)
4.
5. x∈(-∞; -3).f(-4)=9f(x)>0
x∈(-3;5),f(0)=-1,5,f(x)<0 x∈(5;+∞),f(6)=9,f(x)>0
Ответ: x∈(-∞;-3)∪(5;+∞)

Пример 23. -2x^2+3x+2≥0

Решение: 1.-2x^2+3x+2≥0
2. f(x)=-2x^2+3x+2,f(x)>0
3. f(x)=0,〖 x〗_1=2,x_2=1/2
f(x)=-2(x-2)(x+1/2)
4.
5. x∈(-∞; 1/2],f(-1)=-3,f(x)≤0
x∈[-1/2;2],f(0)=2,f(x)≥0
6. x∈[2;+∞),f(3)=-7,f(x)≤0
7.Ответ: x∈[-4;0]
Пример 24. 4x≤-x^2
Решение: 4x-x^2≤0
2.f(x)=x^2+4x, f(x)≤0
3.f(x)=0,x_(1 )=0,x_2=-4
f(x)=x(x+4)
4.
5. x∈[-∞;-4],f(-5)=5,f(x)≥0
x∈[-4;0],f(-1)=-3,f(x)≤0
6. x∈[0;+∞),f(1)=5,f(x)≥0
Ответ: x∈[-4;0]

Пример 25. 0.01x^2-1<0 Решение: 1. 0,01x^2-1<0 2. f(x)=0,01x^2-1, f(x)<0 3.f(x)=0,x_1=10,x_2=-10 f(x)=0,01(x-10)(x+10) 4. 5. x∈(-∞;-10),f(-15)>0,f(x)>0
x∈(-10;10),f(0)<0,f(x)<0 6. x∈(10; +∞),f(15)>0,f(x)>0
7.Ответ:x∈(-10;10)

Пример 26. (5x+1)(5-x)≤0
Решение: 1.(5x+1)(5-x)≤0
2.f(x)=(5x+1)(5-x),f(x)≤0
3.f(x)=0,x_1=-1/5, x_2=5
f(x)=-(x+1/5)(x-5)
4..
5.x∈(-∞;-1/5],f(-1)=-24,f(x),0
x∈[-1/5;5],f(0)=5,f(x)>0
6.x∈[5,+∞),f(6)=31,f(x)<0 7.Ответ: x∈(-∞;-1/5]∪[6;+∞) РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ, если D=0 Пример: 27 x^2-4x+4≥0 Решение: 1. x^2-4x+4≥0 2.f(x)=x^2-4x+4,f(x)≥0 3. f(x)=0,x_(1⁄2)=2 f(x)=(x-2)^2 4.. 5. x∈(-∞;2],x(1)=1 f(x)>0
6.x∈[2;+∞),f(3)=1f(x)>0
7.Ответ:x∈R
Пример 28. x^2+2x+1<0 Решение: 1.x^2+2ч+1Б0 2.f(x)=x^2+2x+1,f(x)<0 3. f(x)=0,x_(1⁄2)=-1 f(x)=〖(x+1)〗^2 4. 5. x∈(-∞;-1),f(-2)=1 f(x)>0
6. x∈(-1;+∞),f(0)=1,f(x)>0
7.Ответ:x∈∅

Пример29. x^2-6x+9≤0
Решение: 1.x^2-6x+9≤0
2.f(x)=x^2-6x+9,f(x)≤0
3.f(x)=0,x_(1⁄2)=3
f(x)=(〖x-3)〗^2
4.
5.x∈(-∞;3],f(0)=9,f(x)>0
6.x∈[3;+∞),f(4)=1 f(x).0
7.Ответ: x=3

Пример 30. x^2-10x+25>0
Решение: 1.x^2-10x+25>0
2.f(x)=x^2-10x+25,f(x)>0
3.f(x)=0,x_(1⁄2)=5
f(x)=(x-5)^2
4.
5.x∈(-∞;5),f(0)=25,f(x)>0
6.x∈(5; +∞),f(6)=1,f(x)>0
7.Ответ:x∈(-∞;5)∪(5;+∞)
Пример 31. -4x^2+12x-9≥0
Решение: 1. -4x^2+12x-9≥0
2. f(x)=-4x^2+12x-9,f(x)≥0
3. f(x)=0,x_(1⁄2)=1,5
f(x)=4(x-1,5)^2
4.
5.x∈[1,5;+∞),f(0)=-9,f(x)<0 6.x∈[1,5;+∞),f(2)=-1,f(x)<0 7. Ответ: x=1,5 Пример32. (3x-1)^2<0 Решение: 1.(3x-1)^2<0 2.〖f(x)=(3x-1)〗^2,f(x)<0 3.f(x)=0,x_(1⁄2)=1/3 f(x)=9(x-1/3)^2 4. 5. x∈(-∞; 1/3),f(0)=1,f(x)>0
6. x∈(1/3; +∞),f(1)=4,f(x)>0
7. Ответ:x∈∅






РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ, если D<0 Пример 33. x^2-3x+4≥0 Решение: 〖1. x〗^2-3x+4≥0 2.f(x)=x^2-3x+4,f(x)≥0 3.f(x)=0,x_1,2∈∅ 4. 5.x∈(-∞;+∞),f(0)=4,f(x)≥0 6. Ответ:x∈R Пример 34. -9x^2+6x>5
Решение: 1.-9x^2+6x-5>0
2.f(x)=-9x^2+6x-5,f(x)>0
3.f(x)=0,x_1.2∈∅
4.
5.x∈(-∞;+∞),f(0)=-5,f(x)<0 6.Ответ: x∈∅ Пример 35. x^2+9≤0 Решение: 1. x^2+9≤0 2. f(x)=x^2+9, f(x)≤0 3.f(x)=0,x_1,2∈∅ 4. 5.x∈(-∞;+∞),f(0)=9,f(x)>0
6.Ответ: x∈∅


Пример 36. -x^2-2≤0
Решение: 1. –x^2-2≤0
2.f(x)=-x^2-2, f(x)≤0
3.f(x)=0,x_1,2∈∅
4.
5.x∈(-∞;+∞),f(0)=-2,f(x)<0 6. Ответ:x∈R Пример 37. -x^2+2x-2<0 Решение: 1.-x^2+2x-2<0 2. f(x)=-x^2+2x-2,f(x)<0 3.f(x)=0,x_1,2∈∅ 4. 5.x∈(-∞;+∞),f(0)=-2,f(x)<0 6. Ответ:x∈R Пример 38. -2x^2+5x-8>0
Решение: 1.-2x^2+5x-8>0
2.f(x)=-2x^2+5x-8, f(x)>0
3.f(x)=0,x_1,2∈∅
4.6.
5.x∈(-∞;+∞),f(0)=-8,f(x)<0 7.Ответ: x∈∅ РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ В НЕЧЕТНОЙ СТЕПЕНИ. Пример 39. x(x-1)(x+3)(x-4)≥0 Решение: 1. x(x-1)(x+3)(x-4)≥0 2. f(x)=x(x-1)(x+3)(x-4),f(x)≥0 3. f(x)=0,x_1=0,x_2=1,x_3=-3,x_4=4, 4. 5. x∋(-∞;-3],f(-4)>0,f(x)>0
x∈[-3;0],f(-1)<0,f(x)<0 x∈[0;1],f(0,5)>0,f(x)>0
x∈[1;4],f(2)<0,f(x)<0 x∈[4;+∞),f(5)>0,f(x)>0
6.Ответ:x∈(-∞;-3]∪[0;1]∪[4+∞)

Пример 40. -3(x+1)(x-2)(x-4)<0 Решение: 1. -3(x+1)(x-2)(x-4)<0 2. f(x)=-3(x+1)(x-2)(x-4),f(x)<0 3. f(x)=0,x_1=-1,x_2=2,x_3=4 4. 5.x∈(-∞),f(-2)>0,f(x)>0
x∈(-1;2),f(0)<0,f(x)<0 x∈(2;4),f(3)>0,f(x)>0
x∈(4;+∞),f(5)<0,f(x)<0 6.Ответ: x∈(-1;)∪(4;+∞) Пример 41. (x-2)^3 (x+2)^3 〖(x-5)〗^7≥0 Решение: 1. (x-2)^3 (x+2)^3 (x-5)^7≥0 2. f(x)=(x-2)^3 (x+2)^3 (x-5)^7,f(x)≥0 3. f(x)=0,x_1=2,x_2=-2,x_3=5 4. 5. x∈(-∞;-2],f(-3)<0,f(x)<0 x∈[-2;2],f(0)>0,f(x)>0
x∈[2;5],f(3)<0,f(x)<0 x∈[5;+∞),f(6)>0,f(x)>0
6.Ответ: x∈[-2;2]∪[5;+∞)

Пример 42. -x^13 (x-4)^225 (x+8)^11≤0
Решение: 1. –x^13 (x-4)^225 (x+8)^11≤0
2. f(x)=-x^13 (x-4)^225 (x+8)^11,f(x)≤0
3. f(x)=0,x_1=0,x_2=4,x_3=-8
4.
5.x∈(-∞;-8],f(-9)>0,f(x)>0
x∈[-8;0],f(-1)<0,f(x)<0 x∈[0;4],f(1)>0,f(x)>0
x∈[4;+∞),f(5)<0,f(x)< 6.Ответ: x∈[-8;0]∪[4;+∞) Правило изменения знака функции. Если функция содержит произведение различных линейных множителей в нечетных степенях, то знаки на числовой оси чередуются шахматном порядке, т.е. функция при переходе через корень нечетной степени обязательно меняет знак. РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЛИНЕЙНЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ В ЧЕТНОЙ СТЕПЕНИ. Пример 43. 2(x-2)^2 (x+3)^4 〖(x-5)〗^6≥0 Решение: 1. 2(x-2)^2 (x+3)^4 (x-5)^6≥0 2. f(x)=2(x-2)^2 (x+3)^4 (x-5)^6,f(x)≥0 3. f(x)=0,x_1=2,x_2=-3,x_3=5 4. 5. x∈(-∞;-3],f(-4)>0,f(x)>0
x∈(-∞;-3],f(-4)>0,f(x)>0
x∈[2;5],f(3)>0,f(x)>0
x∈[5;+∞),f(6)>0,f(x)>0
6.Ответ: x∈R

Пример 44. (x-1)^2 (x+2)^4 〖(x-4)〗^8≤0
Решение: 1. (x-1)^2 (x+2)^4 (x-4)^8≤0
2.f(x)=(x-1)^2 (x+2)^4 (x-4)^8, f(x)≤0
3. f(x)=0,x_1=1,x_2=-2,x_3=4
4.
5.x∈(-∞;-2],f(-3)>0,f(x)>0
x∈[-2;1],f(0)>0,f(x)>0
x∈[4;+∞),f(5)>0,f(x)>0
6.Ответ: x_1=-2,x_2=1,x_3=4

Правила изменения знака функции. Если неравенство содержит только произведения различных множителей в четных степенях, то знаки на числовой оси не меняются, т.е. при переходе через корень четной кратности функция не меняет свой знак.

РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ В ЧЕТНОЙ И НЕЧЕТНОЙ СТЕПЕНИ

Пример 45. 3(x-2)^3 (x-4)^2 (x+6)^4 〖(5-x)〗^7≥0
Решение: 1. 3(x-2)^3 (x-4)^2 (x+6)^4 (5-x)^7≥0
2. f(x)=3(x-2)^3 (x-4)^2 (x+6)^4 (5-x)^7, f(x)≥0
3. f(x)=0,x_1=2,x_2=-4,x_3=-6,x_4=5
4.
5. x∈(-∞;-6],f(-7)>0,f(x)>0
x∈[-6;-4],f(-5)>0,f(x)>0
x∈[-4;2],f(0)>0,f(x)>0
x∈[2;5],f(3)<0,f(x)<0 6. x∈[5;+∞),f(6)>0,f(x)>0
7. Ответ: x∈[2;5]

Пример 46. (x+5) (2x-3)^5 (-x+7)^3 (3x+8)^2<0 Решение: 1.(x+5) (2x-3)^5 (-x+7)^3 (3x+8)^2<0 2.f(x)=(x+5) (2x-3)^5 (-x+7)^3 (3x+8)^2 f(x)<0 3. f(x)=0,x_1=-5,x_2=3/2,x_3=7,x_4=-8/3 4. 5. x∈(-∞;-5),f(-6)<0,f(x)<0 x∈(-5;-8/3),f(-3)<0,f(x)<0 x∈(-8/3;3/2),f(0)<0,f(x)<0 x∈(3/2;7),f(3)>0,f(x)>0
6. x∈(7;+∞),f(8)>0,f(x)>0
7. Ответ: x∈(-∞;-5)∪(-5;-8/5)∪(-8/5;3/2)
Правила изменения знака функции. При переходе через корень нечетной кратности функция меняет свой знак, а при переходе через корень четной кратности – сохраняет свой знак.




РЕШЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ


Пример 47. (x-2)/(x-3)>0

Решение: 1. (x-2)/(x-3)>0
2. f(x)=(x-2)/(x-3),f(x)>0,x=3 точка разрыва
3. f(x)=0,x_1=2,x_2=3
4.
5. x∈(-∞;2),f(0)>0,f(x)>0
x∈(2;3),f(2,5)<0,f(x)<0 x∈(3;+∞),f(4)>0,f(x)>0
6. Ответ: x∈(-∞;2)∪(3;+∞)

Пример 48. (7-x)/(x-2)<0 Решение: 1. (7-x)/(x-2)<0 2. f(x)=(7-x)/(x-2),f(x)<0,x=-2 точка разрыва 3. f(x)=0,x_1=7,x_2=-2 4. 5. x∈(-∞;-2),f(-3)<0,f(x)<0 x∈(-2;7),f(0)>0,f(x)>0
x∈(7;+∞),f(8)<0,f(x)<0 6. Ответ: x∈(-∞;-2)∪(7;+∞) Пример 49. (x^2+2x-3)/(x^2+1)<0 Решение: 1. (x^2+2x-3)/(x^2+1)<0□(⇔┬ ) (x+3)(x-1)/(x^2+1)<0 2.f(x)=(x+3)(x-1)/(x^2+1),f(x)<0 3. f(x)=0,x_1=-3,x_2=1 4. 5. x∈(-∞;-3),f(-4)>0,f(x)>0
x∈(-2;1),f(0)<0,f(x)<0 x∈(1;+∞),f(2)>0,f(x)>0
6. Ответ: x∈(-3;1)

Пример 50. ((x^2-3x+2) (x+2)^3 x^2)/((x^2-1) (x-3)^2 )≥0
Решение: 1. ((x^2-3x+2) (x+2)^3 x^2)/((x^2-1) (x-3)^2 )≥0□(⇔┬ ) ((x-1)(x-2) (x+2)^3 x^2)/((x-1)(x+1) (x-3)^2 )≥0
2.f(x)=((x-1)(x-2) (x+2)^2 x^2)/((x-1)(x+1) (x-3)^2 ),f(x)≥0,x=1,x=-1,x=3-точки разрыва
3. f(x)=0,x_1=1,x_2=2,x_3=-2,x_4=0,x_5=-1,x_6=3
4.
5. x∈(-∞;-2],f(-3)<0,f(x)<0 x∈[-2;-1),f(-1,5)>0,f(x)>0
x∈(-1;0],f(-0.5)<0,f(x)<0 x∈[0;1),f(0,5)<0,f(x)<0 x∈(1;2],f(1,5)<0,f(x)<0 x∈[2;3),f(2,5)>0,f(x)>0
x∈(3;+∞),f(3,5)>0,f(x)>0
6. Ответ: x=0,и x∈[-2;1)∪{2;3)∪(3;+∞)
!!! Если точка х0 является и нулем числителя и нулем знаменателя, то на оси отмечается пустой (не заштрихованной) точкой, в независимости строгим или не строгим является неравенство (пр. 51).

Пример 51. x+4/(x-1)<-3 Решение: 1.x+4/(x-1)<-3□(⇔┬ ) (x^2+2x+1)/(x-1)<0 2.f(x)=(x^2+2x+1)/(x-1), f(x)<0,x=1-точка разрыва 3. f(x)=0,x_1,2=-1,f(x)=(x+1)^2/(x-1) 4. 5. x∈(-∞;-1),f(-2)<0,f(x)<0 x∈(-1;11),f(0)<0,f(x)<0 x∈(1;+∞;),f(2)>0,f(x)>0
6. Ответ: x∈(-∞;-1),∪(-1;1)

Пример 52. (x-3)/(x^2-5x+6)≤-2
Решение: 1. (x-3)/(x^2-5x+6)+2≤0
2.f(x)=(2x^2-9x+9)/(x^2-5x+6); f(x)=2(x-3)(x-1,5)/(x-3)(x-2)
3. f(x)=0,x_1=2,x_2=1.5,x_3=3
4,
5. x∈(-∞;1.5],f(-2)>0,f(x)>0
x∈[1.5;2],f(-0)>0,f(x)>0
x∈[2;3),f(2,5)>0,f(x)>0
x∈(3;+∞),f(4)>0,f(x)>0
6. Ответ: x=1.5
Пример 53. 3x^3+7x^2-7x-3
В ответе запишите сумму всех целых отрицательных решений неравенства.

Решение: Разложим на множители левую часть способом группировки:
1,2.(3〖x 〗^3-3)+(7x^2-7x)=3(x^3-1)+7(x-1)x=(x-1)(3x^2+10x+3)=3(x-1)(x+1/3)(x+3);
f(x)=3(x-1)(x+1/3)(x+3)
3. f(x)=0,x_1=-3,x_2=-1/3,x_3=1
4.
x∈(1;+∞),f(2)>0=□(⇒┬ ) f(x)>0
Т.к. все корни нечетной кратности, то после определения знака функции на самом правом промежутке (1;+ ∞), далее знаки проставляем в шахматном порядке. То решением неравенства является х (-3;-1/3). Среди них целые отрицательные решения -2; -1, а их сумма будет -3.
Ответ: x=-3
Пример 54. x^4-10x^3+35x^2-50x+24>0
Решение: Решение: Т.к. уравнение является приведенным, то если существуют рациональные корни функции f(x)= x4-10x3+35x2 -50х+24, то они являются целыми и находятся среди делителя свободного члена ±1 ±2 ±3 ±4 ±6 ±12 ±24. Находим f(1)=0. Следовательно x_1=1 является корнем функции. Выполнив деление многочленов:


Поступаем аналогично f(x)=x3 -9x2 +26х-24. Подстановкой убеждаемся f(2)=0. Следовательно, x2=2 является корнем функции. Выполнив деление многочленов



x^2-7x+12=0 x_3=3,x_4=4,
x^2-7x+12=(x-3)(x-4), Таким образом, данное неравенство свелось к неравенству
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)>0
1.2.3.f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),f(x)>0 x_1=1,x_2=2,x_3=3,x_4=4
4.
5. x∈(4+∞),f(5)>0□(⇒┴ ) f(x)>0
Т.к. все корни нечетной кратности, то после определения знака функции на самом правом промежутке (4;+ ∞), далее знаки проставляем в шахматном порядке. Решением неравенства являются интервалы, где f(x)> 0 заштриховываем их.
Ответ: x∈(-∞;1)∪(2;3)∪(4;+∞)